2次合同方程式(5)

[ 例題 ] 次の合同方程式が解を持たないことを示せ。 \[ x^2 + 5x + 1 \equiv 0 \pmod{61} \] [ 証明 ]
合同式の法を $61$ とする。両辺を4倍して整理すると \[ \begin{aligned} 4x^2 + 20x + 4 &\equiv 0 \\ (2x + 5)^2 - 25 + 4 &\equiv 0 \\ (2x + 5)^2 &\equiv 21 \end{aligned} \] となる。そこで $y = 2x+5$ とおくと $y$ の合同方程式 \[ y^2 \equiv 21 \] が得られる。しかし、ルジャンドル記号 $(\frac{21}{61})$ の値を計算すると \[ \begin{aligned} \left( \frac{21}{61} \right) &= \left( \frac{3}{61} \right) \left( \frac{7}{61} \right) \\ &= (-1)^{\frac{3-1}{2} \cdot \frac{61-1}{2}} \left( \frac{61}{3} \right) \cdot (-1)^{\frac{7-1}{2} \cdot \frac{61-1}{2}} \left( \frac{61}{7} \right) \\ &= (-1)^{30} \left( \frac{1}{3} \right) \cdot (-1)^{3 \cdot 30} \left( \frac{5}{7} \right) \\ &= -1 \end{aligned}\] となり、$y^2 \equiv 21$ は解をもたない。 よって、もとの合同方程式 $x^2 + 5x + 1 \equiv 0$ も解をもたない。