平方剰余の相互法則

$p, q$ を奇素数とし、$a,b$ を $p$ の倍数でない整数とする。 このとき、次が成り立つ。
　(1) （積はバラバラにできる） \[ \left( \dfrac{ab}{p} \right) = \left( \dfrac{a}{p} \right)\left( \dfrac{b}{p} \right) \] 　(2) （平方剰余の相互法則） \[ \left( \frac{p}{q} \right) = (-1)^{\frac{p-1}{2} \cdot \frac{q-1}{2}} \left( \frac{q}{p} \right) \] 　(3) （「上の数」が $2$ の場合に適用される規則。第2補充法則ともいう） \[ \left( \dfrac{2}{p} \right) = (-1)^{\frac{p^2-1}{8}} \]