2次合同方程式(4)

[ 例題 ] 次の合同方程式を解け。 \[ x^2 \equiv 4 \pmod{35} \] [ 解法① ]
与えられた方程式を変形すると $(x-2)(x+2) \equiv 0 \pmod{35}$ となる。 $35$ はふたつの素数 $5, 7$ の積だから次の4通りが考えられる。
　　(i) $x-2 \equiv 0 \pmod{35}$
　　(ii) $x+2 \equiv 0 \pmod{35}$
　　(iii) $x-2 \equiv 0 \pmod{5}$ かつ $x+2 \equiv 0 \pmod{7}$
　　(iii) $x-2 \equiv 0 \pmod{7}$ かつ $x+2 \equiv 0 \pmod{5}$
(i), (ii)からは $x \equiv 2, 33 \pmod{35}$ が得られる。 一方、(iii), (iv) は「連立合同方程式」と同様の問題である。 それぞれのケースを解くと $x \equiv 12, 23 \pmod{35}$ である。 以上より解は $x \equiv 2, 12, 23, 33 \pmod{35}$ である。
[ 注意 ]
与えられた合同方程式が $x^2 \equiv a^2$ のような形になっていない場合は「2次合同方程式(1)」の解法と同様に、 特殊解を見つけて辺々引き算することにより $x^2 - a^2 \equiv 0$ の形を作る。
[ 解法② ]
合同式の法を $35$ とする。 解の候補は $x \equiv 0,1,2, \dots, 34$ である。 これらの候補のうち $x^2 \equiv 4$ を満たすものをしらみ潰しに探すと $x \equiv 2, 12, 23, 33$ のみが解であることが分かる。 以上より解は $x \equiv 2, 12, 23, 33 \pmod{35}$ である。