2次合同方程式(3)

[ 例題 ] 次の合同方程式を解け。 \[ x^2 \equiv 4 \pmod{25} \] [ 解法① ]
与えられた方程式を変形すると $(x-2)(x+2) \equiv 0 \pmod{25}$ となる。 よって、次の3通りが考えられる。
　　(i) $x-2 \equiv 0 \pmod{25}$
　　(ii) $x+2 \equiv 0 \pmod{25}$
　　(iii) $x-2 \equiv 0 \pmod{5}$ かつ $x+2 \equiv 0 \pmod{5}$
(i), (ii)より $x \equiv 2, 23 \pmod{25}$ が得られる。 一方、(iii) を満たす $x$ は存在しない。 以上より解は $x \equiv 2, 23 \pmod{25}$ である。
[ 解法② ]
合同式の法を $25$ とする。 解の候補は $x \equiv 0,1,2, \dots, 24$ である。 これらの候補のうち $x^2 \equiv 4$ を満たすものをしらみ潰しに探すと $x \equiv 2, 23$ のみが解であることが分かる。 以上より解は $x \equiv 2, 23 \pmod{25}$ である。