2次合同方程式(2)

[ 例題 ] 次の合同方程式を解け。 \[ x^2 + 5x + 2 \equiv 0 \pmod{13} \] [ 解法① ]
合同式の法を $13$ とする。1次の係数を調整して \[ \begin{aligned} x^2 + 5x + 2 &\equiv 0 \\ x^2 - 8x + 2 &\equiv 0 \\ (x-4)^2 - 16 + 2 &\equiv 0 \\ (x-4)^2 &\equiv 14 \\ &\equiv 1 \end{aligned} \] $13$ は素数なので $x-4 \equiv \pm 1$ である。よって、解は $x \equiv 3, 5 \pmod{13}$ である。
[ 解法② ]
合同式の法を $13$ とする。 解の候補は $x \equiv 0,1,2, \dots, 12$ である。 これらの候補のうち $x^2 + 5x + 2 \equiv 0$ を満たすものをしらみ潰しに探すと $x \equiv 3, 5$ のみが解であることが分かる。 以上より、解は $x \equiv 3, 5 \pmod{13}$ である。