2次合同方程式(1)

[ 例題 ] 次の合同方程式を解け。 \[ x^2 \equiv 2 \pmod{7} \] [ 解法① ]
合同式の法を $7$ とする。 $x \equiv 1,2,3, \dots $ と試していくと、$3^2 = 9 \equiv 2$ より、 $x \equiv 3$ が特殊解であると分かる。 そこで、$x^2 \equiv 2$ から $3^2 \equiv 2$ を引くと $x^2 - 3^2 \equiv 0$ が得られ、これを変形すると \[ (x+3)(x-3) \equiv 0 \] となる。法 $7$ は素数なので $x \equiv \pm 3$ である。 よって、解は $x \equiv 3, 4 \pmod{7}$ である。
[ 別解② ]
合同式の法を $7$ とする。 解の候補は $x \equiv 0,1,2, \dots, 6$ である。 これらの候補のうち $x^2 \equiv 2$ を満たすものをしらみ潰しに探すと $x \equiv 3, 4$ のみが解であることが分かる。 以上より、解は $x \equiv 3, 4 \pmod{7}$ である。