1次合同方程式(2)

【例題】 合同方程式 $2x \equiv 5 \pmod{6}$ を解け。
【解法】 合同式の定義より、ある整数 $k$ が存在して \[ 2x - 5 = 6k \] である。変形して \[ 2(x-3k) = 5 \] となる。左辺は偶数であるが、右辺は奇数であるため、この等式を満たす $x$ は存在しない。 よって、この合同方程式は解を持たない。

【例題】 合同方程式 $8x \equiv 2 \pmod{10}$ を解け。
【解法】 合同式の定義より、ある整数 $k$ が存在して \[ 8x - 2 = 10k \] である。両辺を $2$ で割ると \[ 4x - 1 = 5k \] となる。そこで、まずは mod $5$ の合同方程式 \[ 4x \equiv 1 \pmod{5} \] を解く。「1次合同方程式(1)」と同様の方法でこれを解くと $x \equiv 4 \pmod{5}$ が得られる。 したがって、$x = 5 \ell + 4 \, (\ell \in \mathbb{Z})$ と表せる。 もとの合同方程式は mod $10$ の方程式であるから、$\ell$ を $2$ でわった余りで分類する。
(i) $\ell = 2m \, (m \in \mathbb{Z})$ のとき
　　$x = 5 \ell + 4 = 5 \cdot (2m) + 4 = 10m + 4$ より、$x \equiv 4 \pmod{10}$
(ii) $\ell = 2m+1 \, (m \in \mathbb{Z})$ のとき
　　$x = 5 \ell + 4 = 5 \cdot (2m+1) + 4 = 10m + 9$ より、$x \equiv 9 \pmod{10}$
以上より、合同方程式の解は $x \equiv 4, 9 \pmod{10}$ である。

[補足] 合同方程式 $ax \equiv b \pmod{m}$ において、$d$ を $a$ と $m$ の最大公約数とするとき、この合同方程式は $d|b$ のときに限り $d$ 個の解を持つ。