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【問題】 変量 $x,y$ のデータ $(x_i, y_i) \, (i=1,2, \dots, n)$ が与えられているとする。 このとき、新しい変量 $z, w$ をそれぞれ \[ z_i = x_i + y_i, \quad w_i = x_i - y_i \] によって定める。このとき、次の量を $\bar{x}, \bar{y}, s_x^2, s_y^2, s_{xy}$ のうち必要なものを用いて表せ。
[1] 平均値 $\bar{z}$
$\bar{z} = \bar{x} + \bar{y}$ である。
実際、
\[ \bar{z} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n z_i = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i + y_i) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i + \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n y_i = \bar{x} + \bar{y} \]
と計算できる。
[2] 分散 $s_z^2$
$s_z^2 = s_x^2 + s_y^2 + 2s_{xy}$ である。
実際、
\[ \begin{aligned}
s_z^2 = \overline{z^2} - \bar{z}^2 &= \overline{(x+y)^2} - (\bar{x} + \bar{y})^2 \\
&= \overline{x^2+2xy+y^2} - (\bar{x}^2 + 2\bar{x}\bar{y} + \bar{y}^2) \\
&= \overline{x^2} + 2\overline{xy} + \overline{y^2} - (\bar{x}^2 + 2\bar{x}\bar{y} + \bar{y}^2) \\
&= \overline{x^2} - \bar{x}^2 + \overline{y^2} - \bar{y}^2 + 2(\overline{xy} - \bar{x}\bar{y}) \\
&= s_x^2 + s_y^2 + 2s_{xy}
\end{aligned} \]
と計算できる。なお、同様にして
\[ s_w^2 = s_x^2 + s_y^2 - 2s_{xy} \]
であることも分かる。
[3] 共分散 $s_{zw}$
$s_{zw} = s_x^2 - s_y^2$ である。
実際、
\[ \begin{aligned}
s_{zw} = \overline{zw} - \bar{z}\bar{w} &= \overline{(x+y)(x-y)} - \overline{x+y} \cdot \overline{x-y} \\
&= \overline{x^2 - y^2} - (\bar{x}+\bar{y})(\bar{x}-\bar{y}) \\
&= \overline{x^2} - \overline{y^2} - (\bar{x}^2-\bar{y}^2) \\
&= \overline{x^2} - \overline{y^2} - \bar{x}^2 + \bar{y}^2 \\
&= \overline{x^2} - \bar{x}^2 - (\overline{y^2} - \bar{y}^2) \\
&= s_x^2 - s_y^2
\end{aligned} \]
と計算できる。