偏差値
【定義】
変量 $x$ のデータについて、
\[ t = 10 \cdot \frac{x - \bar{x}}{s_{x}} + 50 \]
で定まる変量 $t$ を偏差値という。
後述するように、この定義式は暗記するというよりも、変量の標準化を基準にして導出できるようになることが望ましい。
【問題】 変量 $x$ の平均値 $\bar{x}$ と標準偏差 $s_x$ が次で与えられているとする。
このとき、 に対応する偏差値を求め、小数第1位を四捨五入すると となる。
【Tips】
偏差値とは、もとのデータを平均値 $50$, 標準偏差 $10$ となるようにスケーリングして得られる変量である。
次のように、標準化したデータを基準にして導出できる。
[1] 変量 $x$ の標準化 $z$ は、平均値 $0$, 標準偏差 $1$ である。
[2] このとき、$10z$ の平均値は $0$, 標準偏差は $10$ である。
[3] よって、$10z+50$ の平均値は $50$, 標準偏差は $10$ である。