このページの問題は教科書の p97, 問7.3 の改題である。 ページを再読み込みしても新しい問題は生成されない。
【問題】
集合 $\{ 1,2, \dots, N \}$ から無作為非復元抽出で選んだサイズ $n$ の標本を $X_1$, $X_2, \dots, X_n$ として、
$T = \max \{ X_1, X_2, \dots, X_n \}$ とおく。
$N$ は十分大きい整数であるとして、次の問に答えよ。
[1] $n \leq k \leq N$ を満たす整数 $k$ に対して $P(T = k)$ を求めよ。
[2] $E[T]$ を求めよ。ただし、二項係数についての公式
\[ k \binom{k-1}{n-1} = n \binom{k}{n}, \qquad \sum_{k=n}^{N} \binom{k}{n} = \binom{N+1}{n+1} \]
を用いてよい。
[3] $\frac{n+1}{n}T - 1$ が $N$ の不偏推定量であることを示せ（教科書の p97, 問7.3）。
[1] $\{ 1,2, \dots, N \}$ から無作為非復元抽出でサイズ $n$ の標本を選ぶ方法の総数は $\binom{N}{n}$ 通りである。
このうち、$T = k$ となる標本は、ひとつは $k$ を含み、残りの $n-1$ 個は $\{ 1,2,\dots,k-1 \}$ から選ばれなければならない。
したがって、該当する標本は $\binom{k-1}{n-1}$ 組である。
よって、
\[ P(T=k) = \frac{\binom{k-1}{n-1}}{\binom{N}{n}} \]
である。
[2] 期待値の定義にしたがって次のように計算する。
\[ \begin{aligned}
E[T] &= \sum_{k=n}^N k P(T=k) \\
&= \sum_{k=n}^N \frac{k \binom{k-1}{n-1}}{\binom{N}{n}} \\
&= \frac{1}{\binom{N}{n}}\sum_{k=n}^N n \binom{k}{n} \\
&= \frac{n}{\binom{N}{n}} \binom{N+1}{n+1} \\
&= n \cdot \frac{n!(N-n)!}{N!} \cdot \frac{(N+1)!}{(n+1)!(N-n)!} \\
&= \frac{n(N+1)}{n+1}
\end{aligned} \]
[3] $E[\frac{n+1}{n}T - 1] = N$ を示せばよい。[2]の結果を用いて
\[ E \left[ \frac{n+1}{n}T - 1 \right] = \frac{n+1}{n}E[T] - 1 = \frac{n+1}{n} \cdot \frac{n(N+1)}{n+1} - 1 = N \]
と計算できる。