母分散の検定

【問題】ある工場ではネジを生産している。 従来の製造方法で作られたネジの全長の標準偏差は であることが分かっている。 新しい製造方法で試作したネジから無作為に 個を抽出し、その全長を測定したところ、次のデータが得られた。 製造方法を変えたことにより、ばらつきに変化が生じたと言えるか。 ネジの全長は正規分布に従うものとして、有意水準 で検定せよ。　　答え

【解答】
製造方法変更後の母分散を $\sigma^2$ とする。
帰無仮説 $H_0$ と対立仮説 $H_1$ をそれぞれ次のように設定する：
　　
　　
標本分散を $S^2$ として、統計量 \[ Y = \frac{n S^2}{\sigma^2} \] が自由度 の $\chi^2$ 分布 に従うことを利用して検定を行う。
有意水準 より、棄却域は「 」である。（←余白に絵もかくこと）
帰無仮説 $H_0$ のもとで実現値は となり、
　
【Tips】
分散は平行移動で不変なので、得られたデータの値が $50$ の周辺に寄っていることに注目すれば、データの値から $50$ を引いて のつもりで計算しても同じである。