母分散の検定

ある機器の部品の製造会社で、過去の製品のばらつきは分散 $\sigma^2 = 0.46^2$ であるといわれている。いま、製造方法を変え、無作為標本抽出を行い、次の $7$ 個のデータが得られた。

　　 $2.97, \quad2.78, \quad2.12, \quad2.13, \quad2.74, \quad2.81, \quad2.73$

製造方法を変えたことにより、ばらつきに変化が生じたと言えるか。母集団は正規分布に従うものとして、有意水準 $10\%$ で検定せよ。　　

[解答]
帰無仮説 $H_0$ と対立仮説 $H_1$ をそれぞれ次のように設定する：
　　 $H_0: \sigma^2 = 0.46^2$
　　 $H_1: \sigma^2 \neq 0.46^2$
標本分散を $S^2$ として、統計量 $Y = \frac{n S^2}{\sigma^2}$ が自由度 $6$ の $\chi^2$ 分布 $\chi^2_{6}$ に従うことを利用して検定を行う。
有意水準 $10\%$ より、棄却域は「 $y <1.6354$ または $12.5916 < y$ 」である。（←余白に絵もかくこと）
帰無仮説 $H_0$ のもとで実現値は $y = \frac{7 \times 0.10004082}{ 0.46^2 } = 3.30947892$ となり、 $y$ は棄却域に落ちていないので有意水準 $10 \%$ の検定で帰無仮説 $H_0$ は棄却されない。