ある地区で無作為に選ばれた 人に対して、ある番組の視聴を調査したところ視聴率は であった。 この地区全体での視聴率 $p$ の 信頼区間を求めよ。 区間の両端の数値が割り切れない場合は小数第4位まで答えよ（小数第5位を四捨五入せよ）。
[解答]
$\hat{p}$ を標本比率とする。
標本サイズ は十分大きいとみなしてよく、
したがって中心極限定理および大数の法則から $\frac{\hat{p} - p}{\sqrt{ \frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}}$ が標準正規分布 $N(0,1)$ に従うとしてよい。
教科書の定理 8.18 や授業で導いた、母比率 $p$ に対する信頼係数 $1 - \alpha$ の信頼区間
\[ \left[ \hat{p} - z_{\alpha / 2} \sqrt{ \frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n} }, \, \hat{p} + z_{\alpha / 2} \sqrt{ \frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n} } \right] \]
に問題文の条件 や標準正規分布の上側 点 、標本比率の実現値 を代入して
を得る。
[補足]
信頼区間は導出できることが望ましい。導出は次のように行う。
$\frac{\hat{p} - p}{\sqrt{ \frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}}$ が標準正規分布 $N(0,1)$ に従う（とみなしている）ので
\[ P \left( -z_{\alpha/2} \leq \frac{\hat{p} - p}{\sqrt{ \frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}} \leq z_{\alpha/2} \right) = 1 - \alpha \]
である。ただし、$z_{\beta}$ は標準正規分布の上側 $\beta$ 点である。
左辺のカッコの中を $p$ について解くと
\[ \hat{p} - z_{\alpha / 2} \sqrt{ \frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n} } \leq p \leq \hat{p} + z_{\alpha / 2} \sqrt{ \frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n} } \]
となり。この不等式から母比率 $p$ に対する信頼係数 $1-\alpha$ の信頼区間を得る。