正規母集団からサイズ の標本を抽出して次のデータを得た。
母平均 $\mu$ の 信頼区間を求めよ。 区間の両端の数値が割り切れない場合は小数第2位まで答えよ（小数第3位を四捨五入せよ）。
[解答]
授業で導いたように、（母分散未知の場合の）母平均 $\mu$ に対する信頼係数 $1-\alpha$ の信頼区間は
\[ \left[ \overline{X} - t_{n-1}(\alpha / 2) \frac{U}{\sqrt{n}}, \, \overline{X} + t_{n-1}(\alpha / 2) \frac{U}{\sqrt{n}} \right] \]
である（教科書の定理 8.7 にも同じ式がある）。ここで、$t_{n-1}(\beta)$ は $t_{n-1}$ の上側 $\beta$ 点である。
標本サイズ や 、
実現値 を代入して母平均の 信頼区間
を得る。
[補足]
信頼区間は導出できることが望ましい。母分散既知の場合と本質的に同じであるが導出は次のように行う。
$\frac{\overline{X} - \mu}{U / \sqrt{n}}$ が自由度 $n-1$ の $t$ 分布 $t_{n-1}$ に従うので
\[ P \left( -t_{n-1}(\alpha / 2) \leq \frac{\overline{X} - \mu}{U / \sqrt{n}} \leq t_{n-1}(\alpha / 2) \right) = 1 - \alpha \]
である。上の式の意味がつかめなかったら $\alpha = 0.05$ のつもりで絵も書いてみよう。
左辺のカッコの中を $\mu$ について解くと
\[ \overline{X} - t_{n-1}(\alpha / 2) \frac{U}{\sqrt{n}} \leq \mu \leq \overline{X} + t_{n-1}(\alpha / 2) \frac{U}{\sqrt{n}} \]
となる。この不等式から母平均 $\mu$ に対する信頼係数 $1-\alpha$ の信頼区間を得る。