行列の $n$ 乗 (2)

このページは再読み込みしても新しい問題を生成しない。

[Tips] 実数 $\alpha$ に対し、次の等式 \[ \begin{bmatrix} \alpha & 1 \\ 0 & \alpha \end{bmatrix}^n = \begin{bmatrix} \alpha^n& n\alpha^{n-1} \\ 0&\alpha^n \end{bmatrix} \] が成り立つ。ただし、$n$ は非負整数である。 このことは、教科書 p.20, 1.27 と同様に二項定理を用いて確かめることもできるし、数学的帰納法を用いて証明することもできる。

行列 $A, P$ をそれぞれ \[ A = \begin{bmatrix} 1&4 \\ -1&5 \end{bmatrix}, \quad P = \begin{bmatrix} 2&1 \\ 1&1 \end{bmatrix} \] と定める。以下の問に答えよ。

  1. $A^2$ は　$\begin{bmatrix} -3 & 24 \\ -6 & 21 \end{bmatrix}$　である。　　
  2. $P$ の逆行列は　$\begin{bmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}$　である。　　
  3. $P^{-1}AP$ は　$\begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 3 \end{bmatrix}$　である。　　
  4. $A^n$ は　$3^{n-1} \begin{bmatrix} 3-2n & 4n \\ -n & 3+2n \end{bmatrix}$　である。　　

[補足] 後期の線形数学では、与えられた行列 $A$ に対して、$P^{-1}AP$ を対角行列にする正則行列 $P$ の取り方を学ぶとともに、そのような行列 $P$ がいつでも取れるとは限らないことも学ぶ。 さらに発展的な事実として、$P^{-1}AP$ を対角行列にできない場合には \[ P^{-1}AP = \begin{bmatrix} \alpha & 1 \\ 0 & \alpha \end{bmatrix} \] のような形に変換できることが知られている（右辺の行列を $A$ の ジョルダン標準形 という）。