中間試験を踏まえた確認問題

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[1]次の文章の空欄を埋めよ。ただし、解答の選択肢を$\forall, \exists, \subset, \in, \land, \lor, \cap, \cup, \neg$とする。
  1. 全称限定子（任意の…）を表す記号は　$\forall$　であり、 存在限定子（…が存在する）を表す記号は　$\exists$　である。　　
  2. あるものが集合に「属する」ときに用いられる記号は　$\in$　であり、 ふたつの集合間に「部分集合である」という関係があるときに用いられる記号は　$\subset$　である。　　
  3. 論理積を表す記号は　$\land$　であり、 ふたつの集合の共通部分を表す記号は　$\cap$　である。　　

[2]$A = \{ 0,1 \}$とする。以下の命題の真偽を答えよ。
  1. 命題「$\{0,1\} \in A \times A$」は　偽　である。　　
  2. 命題「$\{0,1\} \subset A \times A$」は　偽　である。　　
  3. 命題「$(0,1) \in A \times A$」は　真　である。　　
  4. 命題「$(0,1) \subset A \times A$」は　偽　である。　　
  5. 命題「$\{0,1\} \in 2^A$」は　真　である。　　
  6. 命題「$\{0,1\} \subset 2^A$」は　偽　である。　　
  7. 命題「$(0,1) \in 2^A$」は　偽　である。　　
  8. 命題「$(0,1) \subset 2^A$」は　偽　である。　　
  9. 命題「$\{ \{0,1\} \} \in 2^A$」は　偽　である。　　
  10. 命題「$\{ \{0,1\} \} \subset 2^A$」は　真　である。　　
  11. 命題「$\{ (0,1) \} \in A \times A$」は　偽　である。　　
  12. 命題「$\{ (0,1) \} \subset A \times A$」は　真　である。　　

[3]次の命題およびその否定命題を論理式で書き、それぞれの命題の真偽を答えよ。
  1. 任意の自然数$n$に対してある自然数$m$が存在して$m - n = 1$を満たす。　　
    もとの命題の論理式：　$\forall n \in \mathbb{N}, \exists m \in \mathbb{N}, m-n=1$
    否定命題の論理式：　$\exists n \in \mathbb{N}, \forall m \in \mathbb{N}, m-n \neq 1$　
    もとの命題の真偽：　真　（任意の自然数$n$に対して$m=n+1$と取ればよい）　
    否定命題の真偽：　偽　
  2. ある実数$e$が存在して任意の実数$a$に対して$ea = a$を満たす。　　
    もとの命題の論理式：　$\exists e \in \mathbb{R}, \forall a \in \mathbb{R}, ea=a$
    否定命題の論理式：　$\forall e \in \mathbb{R}, \exists a \in \mathbb{R}, ea \neq a$　
    もとの命題の真偽：　真　（そのような実数$e$とは$e=1$のことである）　
    否定命題の真偽：　偽