全射・単射（２）

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実数$a,b$に対し$[a,b] = \{ x \in \mathbb{R} \mid a \leqq x \leqq b \}$とする。
$\mathbb{R}_{>0} = \{ x \in \mathbb{R} \mid x > 0 \}$とする（$\mathbb{R}_{>0}$は正の実数全体の集合を表す）。

[1] 以下の写像$f$についての記述のうち適切なものを選べ。
  1. 　$f$は全単射である。
  2. 　$f$は全射であるが単射ではない。
  3. 　$f$は単射であるが全射ではない。
  4. 　$f$は全射でも単射でもない。

  1. $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$を $f(x) = 2x + 3$と定める。　　
    　1.　$f$は全単射である。
    　
  2. $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$を $f(x) = \sin x$と定める。　　
    　4.　$f$は全射でも単射でもない。
    　
  3. $f: [0, \pi] \to [-1, 1]$を $f(x) = \cos x$と定める。　　
    　1.　$f$は全単射である。
    　
  4. $f: \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$を $f(x,y) = xy$と定める。　　
    　2.　$f$は全射であるが単射ではない。
    　
  5. $f: [-1, 1] \to [-1, 1]$を、定義域の要素$x \in [-1, 1]$に対し$x^2 + y^3 = 1$を満たす実数$y$を対応させる写像とする。　　
    　4.　$f$は全射でも単射でもない。
    　
  6. $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$を $f(x) = e^x$と定める。　　
    　3.　$f$は単射であるが全射ではない。
    　
  7. $f: \{1,2,3,4\} \to 2^{\{1,2,3,4\}}$を$f(x) = \{x\}$と定める。　　
    　3.　$f$は単射であるが全射ではない。
    　
  8. $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$を$f(x) = |x|$と定める。　　
    　4.　$f$は全射でも単射でもない。
    　
  9. $f: [-5, 1] \to [0,5]$を$f(x) = |x|$と定める。　　
    　2.　$f$は全射であるが単射ではない。
    　
  10. $f: [-5, 0] \to \mathbb{R}$を$f(x) = |x|$と定める。　　
    　3.　$f$は単射であるが全射ではない。
    　
  11. $f: \mathbb{R}_{>0} \to \mathbb{R}_{>0}$を$f(x) = |x|$と定める。　　
    　1.　$f$は全単射である。
    　
  12. $f: \mathbb{R} - \{0\} \to \mathbb{R}$を$f(x) = \frac{1}{x}$と定める。　　
    　3.　$f$は単射であるが全射ではない。
    　
  13. $f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2 $を$f(x,y) = (x+y, x-y)$と定める。　　
    　1.　$f$は全単射である。
    　
  14. $f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2 $を$f(x,y) = (x, 1)$と定める。　　
    　4.　$f$は全射でも単射でもない。