全射・単射（１）
実数$a,b$に対し$[a,b] = \{ x \in \mathbb{R} \mid a \leqq x \leqq b \}$とする。
[1]$A, B$を集合とする。次の空欄を埋めよ。
- 写像$f: A \to B$が全射であることの定義を論理式を使って記述すると $\forall b \in B, \exists a \in A, \, (b = f(a))$ である。
- 写像$f: A \to B$が単射であることの定義を論理式を使って記述すると $\forall x,y \in A, \, (x \neq y \Longrightarrow f(x) \neq f(y))$ である。
補足：「$x \neq y \Longrightarrow f(x) \neq f(y)$」の部分は対偶である「$f(x) = f(y) \Longrightarrow x=y$」を書いても正解。
[2] 写像 を で定める。
次の記述のうち適切なものを選べ。
- $f$は全単射である。
- $f$は全射であるが単射ではない。
- $f$は単射であるが全射ではない。
- $f$は全射でも単射でもない。
[3] 自然数$n$に対し集合$\mathbb{Z}_n$を$\mathbb{Z}_n = \{ 0,1, \dots, n-1 \}$と定める。
例えば$\mathbb{Z}_4 = \{0,1,2,3\}$である。
を対応させる写像 について、
次の記述のうち適切なものを選べ。
- $f$は全単射である。
- $f$は全射であるが単射ではない。
- $f$は単射であるが全射ではない。
- $f$は全射でも単射でもない。