写像

このページは再読み込みをしても新たな問題を生成しない。
実数$a,b$に対し$[a,b] = \{ x \in \mathbb{R} \mid a \leqq x \leqq b \}$とする。

[1] 以下の対応のうち写像であるものは「◯」と答え、写像でないものは「×」と答えよ。
  1. $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$を $f(x) = 2x + 3$と定める。　　
    　◯
    　
  2. $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$を $f(x) = \log x$と定める。　　
    　×　（理由：$x \leqq 0$において$f(x)$が定義されないため）
    　
  3. $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$を $f(x) = \sin x$と定める。　　
    　◯
    　
  4. $f: \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$を $f(x,y) = xy$と定める。　　
    　◯
    　
  5. $f: [-1, 1] \to [-1,1]$を $f(x) = x + 1$と定める。　　
    　×　（理由：$0 < x \leqq 1$なる$x$について$f(x)$が終域の集合から外れるため）
    　
  6. $f: [-1, 1] \to [-1, 1]$を、定義域の要素$x \in [-1, 1]$に対し$x^2 + y^2 = 1$を満たす$y$を対応させる規則とする。　　
    　×　（理由：$-1 < x < 1$なる$x$に対し$x^2 + y^2 = 1$を満たす$y$は常に2個存在するため）
    　
  7. $f: [-1, 1] \to [-1, 1]$を、定義域の要素$x \in [-1, 1]$に対し$x^2 + y^3 = 1$を満たす実数$y$を対応させる規則とする。　　
    　◯　（$-1 \leqq x \leqq 1$なる$x$に対して$x^2 + y^3 = 1$を満たす実数$y$はただひとつ存在する。$y = f(x) = (1-x^2)^{\frac{1}{3}}$.）
    　
  8. $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$を$f(x) = 0$と定める。　　
    　◯
    　
  9. $f: \{1,2,3,4\} \to \{1,2,3,4\}$を$f(x) = x$と定める。　　
    　◯
    　
  10. $f: \{1,2,3,4\} \to \{1,2,3,4\}$を$f(1) = 2, f(2) = 3, f(3) = 4, f(4) = 5$と定める。　　
    　×　（理由：$f(4) = 5$が終域の集合$\{1,2,3,4\}$から外れるため）
    　
  11. $f: \{1,2,3,4\} \to \{1,2,3,4\}$を$f(1) = 2, f(2) = 3, f(3) = 4$と定める。　　
    　×　（理由：$f(4)$が未定義であるため）
    　
  12. $f: \{1,2,3,4\} \to 2^{\{1,2,3,4\}}$を$f(x) = x$と定める。　　
    　×　（理由：$f(x)$が終域の集合に属していないため）
    　
  13. $f: \{1,2,3,4\} \to 2^{\{1,2,3,4\}}$を$f(x) = \{x\}$と定める。　　
    　◯
    　
  14. $f: \{1,2,3,4\} \to 2^{\{1,2,3,4\}}$を$f(x) = \emptyset$と定める。　　
    　◯