集合の演習問題（その他）

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[1] $A, B$を集合とする。以下の問に答えよ。
  1. $A$と$B$の直積集合$A \times B$の定義をかけ。
    　　　　　$A \times B =$　$\{ (a,b) \mid a \in A \, \land \, b \in B \}$　
  2. $A$のべき集合$2^A$の定義をかけ。
    　　　　　$2^A =$　$\{ S \mid S \subset A \}$　
　　

[2] 集合$A, B$を$A = \{ 1,2,3 \}$, $B = \{ \text{a,b} \}$と定める。以下の問に答えよ。
  1. $A \times B =$　$\{ (1, \text{a}), (1, \text{b}), (2, \text{a}), (2, \text{b}), (3, \text{a}), (3, \text{b}) \}$　である。
  2. $B \times A =$　$\{ (\text{a}, 1), (\text{a}, 2), (\text{a}, 3), (\text{b}, 1), (\text {b}, 2), (\text{b}, 3) \}$　である。
  3. $2^A =$　$\{ \emptyset, \{1\}, \{2\}, \{3\}, \{1, 2\}, \{1,3\}, \{2,3\}, A\}$　である。
　　

[3] 以下の空欄を埋めよ。
  1. $\mathbb{N}$は　自然数全体の集合　である。　
  2. $\mathbb{Z}$は　整数全体の集合　　である。　
  3. $\mathbb{Q}$は　有理数全体の集合　である。　
  4. $\mathbb{R}$は　実数全体の集合　　である。　
  5. $\mathbb{C}$は　複素数全体の集合　である。　


[4] 以下の命題の真偽を答えよ。
  1. 命題「$\emptyset \subset \emptyset$」は　真　である。　
  2. 命題「$\emptyset \in \emptyset$」は　偽　である。　
  3. 命題「$\emptyset \subset \{ \emptyset \}$」は　真　である。　
  4. 命題「$\emptyset \in \{ \emptyset \}$」は　真　である。　
  5. 命題「$\{ \emptyset, \{ \emptyset \} \}$の要素数は2である」は　真　である。　
  6. 命題「$\{ \emptyset \} \subset \{ \{ \emptyset \} \} $」は　偽　である。　
  7. 命題「$\{ \emptyset \} \in \{ \{ \emptyset \} \} $」は　真　である。　
  8. 命題「$ \emptyset \subset \{ \{ \emptyset \} \} $」は　真　である。　
  9. 命題「$\emptyset \in \{ \{ \emptyset \} \} $」は　偽　である。